shkolageo.ru 1

Матбой 2

9-11 классы


1. Найдите все острые углы , для которых выполняется равенство

sin(sin+)=cos(cos-).


2. Среди двадцати пяти внешне одинаковых монет 3 фальшивые и 22 настоящие. Все настоящие монеты имеют равные веса. Все фальшивые монеты также имеют равные веса, причем фальшивая монета легче настоящей. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь найти 6 настоящих монет?


3. Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС, АВВС. На стороне АВ взята точка Е, а на продолжении стороны АС за точку А выбрана точка D так, что BDC=ECA. Докажите, что площади треугольников DEC и ABС равны.

4. На плоскости нарисованы 2002 вектора. Два игрока по очереди выбирают по одному вектору до тех пор, пока они не кончатся. Проигрывает тот, у кого сумма выбранных им векторов имеет меньшую длину.


5. Торт имеет вид круга диаметра n/ м. По периметру торта расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем ее длина в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

6. Квадратный трехчлен f(x) разрешается заменить на любой из трехчленов x2f или

(x-1)2f. Можно ли с помощью таких операций из квадратного трехчлена x2+4х+3 получить х2+10х+9?.


7. Даны две окружности длиной 100см. На первой из окружностей выделены 100 точек, а на второй – несколько дуг (отрезков окружности, а не интервалов), сумма длин которых

меньше 1. Доказать, что окружности могут быть наложены друг на друга таким образом, чтобы ни одна из выделенных точек не попала на выделенную дугу.

8. Найти радиус наибольшего круга, который можно покрыть тремя кругами радиуса R. Решить задачу в общем случае, когда радиусы равны R 1 , R 2 , R 3 .


  1. Дан квадрат nxn (n3). Его склеили в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.


10. Доказать, что многочлен x44 + x33 + x22 + x11 +1 делится на x4 + x3 + x2 + x +1, не выполняя деления в столбик.