shkolageo.ru
добавить свой файл
1

Магические квадраты

Что такое «магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называ­ется квадратная таблица размером n х n, за­полненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают маги­ческие квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоя­щих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

Из истории развития магических квадратов

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли. - ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, напол­ненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажу­щейся простотой множество тайн... Знакомьтесь: магические квадраты - удивительные представи­тели воображаемого мира чисел.

Рисунок 1.1

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях.

Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается его автор (который па самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много ве­ков до него) – философ-новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры.


Европейцев с удивительными числовыми ква­дратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержа­ла примеры магических квадратов разного поряд­ка, составленных самим автором.

В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различ­ные мистические свойства. Поэтому не удиви­тельно, что они пользовались особой популярно­стью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защи­щает от чумы.

В начале XVI в знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив

его на гравюре «Ме­ланхолия» (рис. 1.1).

Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и состав­лен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрально­го квадрата (рис. 1.2, а), а также образующих четы­ре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис. 1.2, б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры - 1514 г.


16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4


15

14

1



6

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

а) б)

Рисунок 1.2

В
" Клод Гаспар Баше де Мезириак — французский мате­матик. и поэт XVII века. Известен в частности, тем, что перевёл с греческого и издал и 1621 г, "Арифметику* Диофан­та, снабдив книгу подробными комментариями.

" Бернар Френикль де Бесси — французский математик XVII в., занимавшийся в основном теорией чисел.

середине XVI в. в Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты пред­стали в качестве объектов математического ис­следования. Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.

Например, Баше де Мезириак* описал простой графический способ построении квадратов нечет­ного порядка. Последний не раз переоткрывался и, вероятно, был изобретен еще в древности. Отметим, что в XVI-XV1I вв. составлением магиче­ских квадратов занимались с таким же увлечени­ем, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг Баше магические квадраты впервые пред­стали как математическая забава.


Примерно в то же время Пьер де Ферма разработал общий метод построения квадратов четно­го порядка, а Френикль де Бесси** вычислил и построил все различные квадраты 4-го порядка (всего их насчитывается 880). Дальнейшее разви­тие теории магических квадратов оказалось свя­зано с развитием теории чисел и комбинаторики.

В наше время магические квадраты продолжа­ют привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной матема­тике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специ­альные знания, сколько смекалка и умение под­мечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит пре­красной «гимнастикой для ума».

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 1.3, а). Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек (рис. 1.3, б), украшавший панцирь огромной черепахи, кото­рую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй ми­фический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.


а) б)

Рисунок 1.3
Рисунок 1.3

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространи­лись сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.



7

12

1

14

2

13

8

11

16

3

10

5

9

6

15

4
На рис. 1.4 изображен магический квадрат 4-го порядка, известный еще древним индусам.

Он интересен тем, что сохраняет свойство

быть магическим после последовательной

перестановки строк (столбцов).

Рисунок 1.4

Разновидности магических квадратов.


Среди множества магических квадратов неко­торые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют раз­личным дополнительным условиям.

Так, у изображенного на рис. 1.5 магического ква­драта 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Ква­драт с таким свойством называется совершенным.



Рисунок 1.5

Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким пре­образованиям, как поворот и симметрия. Оказы­вается, существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство. Так, квадрат останет­ся совершенным после того, как его верхнюю стро­ку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец - слева).


Отметим другое, следующее отсюда свойство: если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, полу­чится своеобразный паркет, в котором числа, ока­завшиеся в любой группе клеток размером 5x5, образуют совершенный квадрат (рис. 1.6).




Рисунок 1.6

Кстати, упоминавшийся ранее древнеиндий­ский квадрат также является совершенным.

Некоторые магические квадраты отличаются симметричным рисунком. Рассмотрим следую­щий квадрат 5-го порядка (рис. 1.7). Что интерес­ного можно заметить и расстановке образующих его чисел? Во-первых, четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из его осей симметрии.


* Можно сказать иначе; число, стоящее и центральной клетке квадрата, есть среднее арифметическое любой пары чисел из центрально - семеричных клеток.



Рисунок 1.7

Во-вторых, суммы пар чисел, занимающих цен­трально - симметричные клетки, одинаковы и вдвое больше числа, стоящего в центре* (рис. 1.8).

И это не случайно. Натуральные числа 1, 2… 25 являются членами арифметической прогрес­сии. Как известно, суммы членов, равноудаленных от концов прогрессии, равны:

а1 + аn = а2 + аn-1 = ... .

Но именно по этому принципу построены все двенадцать пар чисел.


Имеем:

1 + 25= 2 + 24 = ... = 12 + 14 = 26 = n2 + 1.

Наконец, оставшееся число 13 - непарное и помещается в центре квадрата. Кроме того, это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если прону­меровать все клетки по порядку построчно сверху вниз).





Рисунок 1.8


Аналогичными свойствами обладают таблица Ло Шу и квадрат Дюрера. Вообще квадрат, в котором любые два числа, расположенные симме­трично относительно его центра, дают в сумме одно и то же число, называется симметрическим. (Причем неважно, какого он порядка: четного или нечетного.) Неверно было бы говорить о том, что именно симметрия строения является основным признаком магического квадрата. Вместе с тем она часто определяет его свойства и широко используется при построении магических квадратов.

Укажем, наконец, еще одну интересную осо­бенность выбранного для примера магического квадрата. Все пятерки чисел, стоящих на его «раз­ломанных» диагоналях (рис. 1.9), являются члена­ми арифметических прогрессий с одной и той же разностью d=5, совпадающей с порядком ква­драта (кстати, их суммы обладают таким же свой­ством).



11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14


22

23

6

19

2

15


Рисунок 1.9

Найдите на рис.1.9 еще две пятерки располо­женных рядом чисел, из которых можно соста­вить арифметические прогрессии с разностями d1и d2, отличными от 1. Как связаны между собой числа d, d1 и d2?

Многими интересными свойствами обладает и изображенный на рис. 1.10 магический квадрат 8-го порядка. Например, он делится па четыре рав­ные части - квадраты 4-го порядка, у каждого из которых суммы чисел по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы и равны 130, что вдвое меньше постоянной магического квадрата.

Его можно разбить также на четыре пары прямоугольников размером 4x2 каждый, располо­женных симметрично относительно центра квад­рата (на рис. 1.10 они закрашены одним и тем же цветом). Суммы пар чисел в соответствующих столбиках таких прямоугольников одинаковы и равны 57 или 73 (например, 1 + 56 = 54 + 3, 46 + 27 = 25 + 48), что дает в сумме 130. А если составить из полученных чисел прямоугольную таблицу, они распределятся в ней симметрично (рис. 1.11).





Рисунок 1.10

57

73

73

57

57

73


73

57

73

57

57

73

73

57

57

73

73

57

57

73

73

57

57

73

57

73

73

57

57

73

73

57

Рисунок 1.11

Рассмотрим теперь левый верхний квадрат 4-го порядка (рис. 1.10). Сложим числа, располо­женные симметрично относительно его горизон­тальной, а также вертикальной осей симметрии. Суммы снова повторяются и закономерно распо­лагаются в таблицах (рис. 1.12), «скрывая в себе» числа130 и 260.

43

47

83


87

87

83

47

43






































56

74

58

72

72

58

74

56


Рисунок 1.12

Аналогичными свойствами обладают и осталь­ные квадраты, получающиеся при разбиении ис­ходного квадрата на четыре равные части. При­чем с каждым из них связан свой набор из вось­ми чисел, принадлежащих множеству; (43, 47, 51, 55, 56, 58. 72, 74, 75, 79, 83, 87). Легко видеть, что сумма двух любых чисел, «равноудаленных» от его концов, раина 130, а сумма четверок чисел - 260. Все отмеченные свойства данного магического квадрата, включая рассмотренные выше разбие­ния на квадраты и прямоугольники, являются проявлением особенностей его внутреннего стро­ения, подчиненного закону центральной симме­трии.


Теперь вы и сами можете найти немало инте­ресных свойств этого магического квадрата, раз­бивая его на другие фигуры, например на шест­надцать квадратов размером 2x2, складывая числа, расположенные не в столбик, а по диаго­нали, и т.д.

В
Слагаемый в сумме не должны повторяться, при этом их порядок не учитывается.

озникают самые разные вопросы, связанные с магическими квадратами. На одни из них отве­ты давно найдены, на другие только предстоит найти. Остановимся подробнее на некоторых про­блемах.

Ранее отмечалось, что квадрат 3-го порядка яв­ляется самым простым. А почему не существует магический квадрат 2-го порядка?

Квадрат размером 2x2 должен был бы состо­ять из чисел 1, 2, 3, 4, а его постоянная - рав­няться 5. У такого квадрата по две строки, столб­ца и диагонали. Итого шесть. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами*, но это сделать невозможно! Ведь та­ких комбинаций всего две: 1+4 и 2 + 3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обо­их столбцах, либо по диагоналям (рис. 1.13), но никак не одновременно.




Рисунок 1.13

Рассматривая магические квадраты разного по­рядка, мы указывали их постоянные, которые, как легко догадаться, однозначно определяются раз­мером соответствующей таблицы. Конечно, при наличии квадрата для небольших значений n заветную сумму можно вычислить непосредствен­но. Но даже нескольких приведенных ранее примеров достаточно, чтобы понять, с увеличением n она быстро растет. А что делать в том случае, когда квадрат еще не построен? Или если нужно проверить, является ли данный квадрат магическим? Да и как составить сам квадрат, не зная его постоянной?


Выведена общая формул, позволяющую вы­числить её для квадрата любого порядка. Пусть в таблице размером n х n располагаются натураль­нее числа от 1 до n!. Их сумма S равна

1+2+3+…+n=((1+n2)* n2)/2

Обозначим постоянную магического квадрата буквой s. Тогда

S=s*n= ((1+n2)* n2)/2

откуда

s= ((1+n2)* n2)/2

С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты.

Первая задача предполагает более подробное рассмотрение, и не является вопросом, рассматриваемым в данной работе. Отметим лишь, что основы математической теории построения магических квадратов были заложены французскими учеными в XVII в. Поз­же она стала излюбленной темой исследований многих авторов. И хотя для каждого вида квадрата были найдены свои способы решения задачи, пока не известен общий, пригодный для квадратов любого порядка, метод их построения.

Вторая задача также до сих пор не решена, Отчасти это связано с тем, что с увеличением n число магических квадратов стремительно растет. Напри­мер, доказано, что для n = 4 существует 880 раз­личных магических квадратов, для n = 5 - уже около четверти миллиона, а для больших значе­ний n их общее число не найдено.

Не менее удивительно то, что существует всего один; магический квадрат 3-го порядка! Общее число квадратов, которые можно составить из девяти чисел, равно

9! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 = 362 880. Среди них есть такие, которые получаются один из другого с помощью поворота на 900, 1800, 2700 вокруг центра квадрата или при симметрии отно­сительно четырех осей. Если найден один маги­ческий квадрат, то каждый из семи квадратов, полученный из него любым из указанных спосо­бов, не следует рассматривать как новый вариант искомого квадрата. Как известно, от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. В данном случае важна сумма, а не порядок расстановки сла­гаемых. Так что все восемь квадратов представля­ют по сути один квадрат. Отбросив все «ложные» варианты, получим интересующее нас число рас­становок чисел в таблице размером 3 х 3, а имен­но 362 880: 8 = 45 360, и только одна из комбина­ций соответствует магическому квадрату!


Как же ее найти? Оказывается, это не такая уж сложная задача. Для начала представим число 15 в виде сумм троек натуральных чисел от 1 до 9. Получим следующие восемь комбинаций.

1+5+9 2+6+7

1+6+8 3+4+8

2+4+9 3+5+7

2+5+8 4+5+6

Теперь тройки чисел надо разместить соответ­ствующим образом в клетках квадрата. Замечаем, что число 5 входит сразу в четыре суммы. Зна­чит, содержащая его клетка должна находиться на пересечении четырех прямых рядов. В квадра­те размером 3x3 этому условию удовлетворяет только одна клетка - центральная (рис. 1.14, а).

Нетрудно сообразить: любые два числа, попав­шие в одну тройку с числом 5, должны разме­щаться симметрично относительно центра квад­рата. Осталось выяснить, как именно располага­ется конкретная числовая пара: по горизонтали, вертикали или по диагонали?



Рисунок 1.14


Будем рассуждать так же, как и раньше. Каж­дое четное число встречается сразу в трех суммах, поэтому четные числа должны попасть в клетки, лежащие на пересечении трех рядов, то есть в углах таблицы (рис. 1.14, б). Наконец, каждое из оставшиеся нечетных чисел входит в суммы дважды, их место - в средних клетках по краям квад­рата (рис. 1.14 ,в).

Следуя найденным принципам, легко распре­делить все девять чисел.

Интересны и другие задачи на построение ма­гических квадратов: состоящих из заданных чи­сел, обладающих определенными свойствами и т.д. Такова, например, задача на составление ква­дратов из простых чисел,

Ее возможное решение приведено на рис. 1.15. Любопытно, что все подобранные числа заканчиваются цифрой 7. Сумма чисел, стоящих, в каждой строке, столбце и на обеих диагоналях таблицы, равна 798. Ее нельзя вычислить с по­мощью формулы постоянной s магического ква­драта, поскольку числа не являются членами арифметической прогрессии, и это осложняет поиски решения.



3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

17

317

397

67

307

157

107

227

127

277

257

137

347

47

37

367



Рисунок 1.15 Рисунок 1.16

На рис. 1.16 изображен ещё один квадрат из про­стых чисел: одно- и двузначных. Его постоянная выглядит «скромнее» и равна всего 120. -Трудней построить магический квадрат из пер­вых п2 простых чисел. В начале XX в. было дока­зано, что наименьший такой квадрат имеет размер 12 х 12. Правда, при его составлении било сдела­но исключение: число 2 заменено единицей.


Иногда рассматривают магические квадраты не с суммами, а с произведениями чисел. Например, изображенный на рис. 17 квадрат 3-го порядка составлен из первых девяти членов геометричес­кой прогрессии 1, 2, ... . В нем произведения чисел по всем строкам, столбцам и обеим диаго­налям одинаковы и равны 4096. Легко видеть, что данный квадрат является симметрическим: произведение двух любых чисел из центрально-симметричных клеток равно 256.


Рисунок 1.17


Задачу можно обобщить на случай магическо­го квадрата, составленного из чисел а, аq, аq2,..., aq8. Как его построить с помощью полученных ранее знаний? Обращает на себя внимание пока­затель степени qm он последовательно прини­мает целые значения от 0 до 8. Сравните их с числами из таблицы Ло шу. Отличие только одно - вместо числа 9 присутствует 0, но оно приводит к следующему предположению: квад­раты аналогичны по структуре и должны стро­иться одним и тем же способом. А он нам уже известен. Составим сначала таблицу из чисел 0, 1, ..., 8 (рис. 1.18, а), затем соответствующий ква­драт из чисел а, аq, аq2, ..., aqs (рис. 1.18, б). Убе­дитесь в том, что он магический.





Рисунок 1.18


Отметим, что задачу можно было решить иначе. Сначала, опираясь на свойства геометрической прогрессии п), а именно,

b1*bn=b2*bn-1=…и


b2n=bn-m*bn+m, где 1 ≤ mn – 1

вычислить постоянную s квадрата:

Затем, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, представить выраже­ние а3q12 восемью способами в виде произведе­ния трех из множителей а, аq, aq2, ..., aq8 и рас­пределить последние в клетках квадрата, рассуж­дая подобно тому, как это делалось при постро­ении таблицы Ло Шу.

Помимо квадратов, существуют и другие маги­ческие фигуры. Одна из них - магический шести­угольник 3-го порядка (на каждой его стороне по три числа), составленный из первых девятнадцати натуральных чисел (рис. 1.19). В нем пять рядов и десять диагоналей (по пять в каждом на­правлении), все пятнадцать сумм чисел одинаковы, постоянная шестиугольника S0=(1+2+…+19)/5=3

Рисунок 1.19


Интересно, что магический шестиугольник 3-го порядка существует в единственном экземп­ляре (с точностью до поворотов и отражений), как и его «младший брат» квадрат. Более того, нельзя построить такой шестиугольник никакого другого порядка!

Наконец, можно рассматривать трехмерные фигуры из чисел, в частности магический куб – пространственный аналог магического квадрата. Подобный куб размером n х n х n должен быть заполнен натуральными числами от 1 до n3, суммы которых к каждой строке и каждом столб­це произвольного слоя, а также на любой из че­тырех диагоналей куба одинаковы.


Один из магических кубов 3-го порядка построил Леонард Эйлер. На рис. 1.20 показано, как распреде­лены натуральные числа 1, 2, …, 27 в слоях куба.





Верхний слой Средний слой Нижний слой

Рисунок 1.20