shkolageo.ru
добавить свой файл
1 2 ... 19 20


Министерство образования и науки РФ

ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Математический факультет

V фестиваль

рефератов по математике

учащихся школ г. Екатеринбурга

Сборник тезисов докладов

Екатеринбург

2010


Редакционная коллегия:

Толстопятов В.П., кандидат физико-математических наук, доцент (отв.ред)

Дударева Н.В., кандидат педагогических наук, доцент

Хохлова О.В.

Сборник тезисов докладов V фестиваля рефератов по математике учащихся школ г. Екатеринбурга, г. Екатеринбург, 27 февраля 2010 г. / Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 2010, 55 с.

В сборнике представлены тезисы докладов участников V фестиваля рефератов по математике учащихся школ г. Екатеринбурга, состоявшегося на базе математического факультета Уральского государственного педагогического университета 27 февраля 2010 г.

© Уральский государственный педагогический университет, 2010

Содержание


Принцип Дирихле 4

Способы решения диофантовых уравнений 5

Необыкновенная алгебра 6

Теория графов 8

Графы и их применение к решению задач 9

Фрактал как понятие неклассической геометрии 11

Правильные многогранники 12

Гармоническая пропорция 13

Фракталы и фрактальные деревья 14

Лента Мёбиуса в жизни современного человека 15

Задачи на делимость чисел в ЕГЭ 17

Разностные уравнения 18

«Золотое сечение» в архитектуре 20

Вневписанные окружности 21

Оригами 22

Почему 2×2 = 10 ? 24

Инверсия и её применение в геометрии циркуля 25


Различные приёмы доказательства теоремы Пифагора 26

Тайны золотого сечения 27

Оригами и три великие задачи древности 28

Роль нумерологии в современном мире 29

Проценты в современном мире 31

Методы распознавания ритма музыкального произведения в реальном времени 32

Решение различных задач с применением красочной комбинаторики 35

О различных способах решения задачи нахождения суммы внутренних острых углов пятиконечной звезды 36

Как сохранить свой секрет в тайне? 37




Принцип Дирихле


А. М. Амиева,

МОУ СОШ № 128

В своей работе я изучила принцип Дирихле. Создателем этого принципа является немецкий математик Дирихле Петер Густав Лежен. Несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное решение. С помощью принципа Дирихле обычно доказывается существование некоторого объекта, не указывая, вообще говоря, алгоритм его нахождения или построения. Это даёт так называемое неконструктивное доказательство. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени.

Сам принцип звучит так: если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента.

По традиции принцип Дирихле объясняют на примере кроликов в клетках: если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика. Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке; но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века. Однако, во всех этих задачах часто нелегко догадаться, что нужно считать "кроликом", а что – "клеткой", и как использовать наличие двух "кроликов", попавших в одну "клетку" (мы не можем сказать, в какой именно клетке сидят два "кролика", а знаем только, что такая "клетка" есть).


В своей работе я рассмотрела 40 задач. Из них: 6 геометрических задач, 5 задач на пары, 8 задач на знакомство и дни рождения, 7 задач на среднее арифметическое, 5 задач на делимость, 6 задач на комбинаторику, 3 задачи на теорию чисел. При решении каждой задачи была использована соответствующая формулировка принципа Дирихле. Мы классифицировали задачи по используемым формулировкам.

Утверждение 1: "Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка",– использовалось 3 раза.

Утверждение 2: "Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть "клетка", в которой не менее 2-х "кроликов",– использовалось 24 раза.

Утверждение 3: "Если в n клетках сидят не более nk-1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "кроликов"",– использовалось 1 раз.

Утверждение 4: "Если в n клетках сидят не менее n k+1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "кроликов"",– использовалось 5 раз.

Утверждение 5: "Если сумма n чисел больше S, то по крайней мере одно из этих чисел больше S/n",– использовалось 4 раза.

Утверждение 6: "Если сумма n чисел меньше S, то по крайней мере одно из этих чисел меньше S/n",– использовалось 1 раз.

Утверждение 7: "Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток",– использовалось 2 раза.

Наиболее применяемая вторая формулировка, она применялась 24 раза, 60% от числа рассматриваемых задач. Это объясняется простотой применения данной формулировки.

Наглядное представление о частоте использования утверждений мы показали в виде таблицы и диаграмм.

Мною разработано электронное пособие по принципу Дирихле, оно поможет желающим познакомиться с этим принципом. Также были рассмотрены некоторые теоремы из теории чисел, которые легко доказываются при помощи принципа Дирихле, что показывает важную роль этого принципа в становлении теории чисел.



следующая страница >>