shkolageo.ru 1

















Пусть - распределение амплитуды и фазы освещения на поверхности объекта

  • Пусть - распределение амплитуды и фазы освещения на поверхности объекта

  • Тогда поле на некоторой поверхности наблюдения можно описать с помощью интегрального соотношения Кирхгофа [Борн М., Вольф Э.]



Это преобразование в принципе обратимо

  • Это преобразование в принципе обратимо

  •  

  • где - это оператор, взаимный Т , а интегрирование происходит по поверхности наблюдения S

  • Выражение описывает процесс восстановления волнового поля



Функцию ( , ,  ) можно назвать математической голограммой

  • Функцию ( , ,  ) можно назвать математической голограммой

  • Вычисление интеграла в общем случае представляет довольно сложную задачу

  • Её удаётся решить только для очень простых объектов, заданных небольшим количеством отдельных линий или точек. В общем случае приходится прибегать к различного рода упрощениям


Первое упрощение, к которому можно прибегнуть без большого ущерба, состоит в сведении трёхмерной задачи к двухмерной

  • Первое упрощение, к которому можно прибегнуть без большого ущерба, состоит в сведении трёхмерной задачи к двухмерной

  • Для этого поверхность наблюдения считается плоской, а распределение амплитуды и фазы волны на поверхности объекта заменяется по законам геометрической оптики распределением амплитуды и фазы на плоскости, касающейся объекта или достаточно близкой к нему (чтобы при пересчёте амплитуды и фазы пренебрегать дифракцией и пользоваться геометрической оптикой) и параллельной плоскости наблюдения


.

  • .



Пусть d – расстояние между двумя плоскостями. Плоскостью (x,y) на которой распределение известно и плоскостью в которой нам необходимо определить вид волнового фронта

  • Пусть d – расстояние между двумя плоскостями. Плоскостью (x,y) на которой распределение известно и плоскостью в которой нам необходимо определить вид волнового фронта





Очевидно, если угол, под которым виден объект с поверхности наблюдения (угол охвата) и площадь наблюдения малы, это естественная аппроксимация

  • Очевидно, если угол, под которым виден объект с поверхности наблюдения (угол охвата) и площадь наблюдения малы, это естественная аппроксимация

  • Для задач, где угол охвата должен быть велик, такой подход означает необходимость сведения их к задаче расчёта при малом угле охвата

  • При этом для реализации больших углов охвата поверхность наблюдения можно разбить на небольшие фрагменты, аппроксимируемые плоскостями, и рассматривать голограммы для отдельных фрагментов, каждая из которых представляет часть общего угла и воспроизводит объект под своим ракурсом

  • Для этого можно воспользоваться методом конечных элементов


Второе упрощение

  • Второе упрощение

  • Если геометрические параметры тела малы по сравнению с расстоянием d до плоскости наблюдения, то это вместе с условием малости площади наблюдения приводит к дальнейшему упрощению

  • При

  • где max – максимальный угол (в радианах), под которым наблюдается объект с расстояния d ;

  • k – коэффициент допустимой фазовой ошибки, равной , в передаче аргумента экспоненты в ядре преобразования между параллельными плоскостями


В этом случае ядро преобразования:

  • В этом случае ядро преобразования:

  • а преобразование записывается в виде интеграла Френеля:

  • Преобразование, описываемое этим соотношением, называется преобразованием Френеля



  • Огюстен Жан Френель

  • (1788 - 1827)

  •  

  •  

  •  

  • Огюстен Жан Френель родился в Бройле, на севере Франции

  • Отец его был архитектором. Удалившись в свое имение от тревог революции, он сам дал начальное образование своим детям

  • Шестнадцати лет Огюстен был принят в Политехническую школу, которую и окончил по отделению мостов и дорог


Как инженер путей сообщения Френель служил в департаменте Вер до марта 1815 г. В период 100-дневного правления Наполеона он поддерживал роялистов. После своей отставки Френель поселился в Нормандии и занялся оптикой. Заинтересовавшись недавно открытым явлением поляризации света, он довольно скоро пришел к идеям волновой теории света

  • Как инженер путей сообщения Френель служил в департаменте Вер до марта 1815 г. В период 100-дневного правления Наполеона он поддерживал роялистов. После своей отставки Френель поселился в Нормандии и занялся оптикой. Заинтересовавшись недавно открытым явлением поляризации света, он довольно скоро пришел к идеям волновой теории света

  • По настоянию Араго он в 1819 г. представил свой знаменитый мемуар в Парижскую Академию. В последующие годы Френель занимался устройством маяков; он разработал их оптику и изобрел составные линзы — линзы Френеля

  • В 1823 г. он стал членом Парижской Академии и в 1825 г. был избран иностранным членом Лондонского Королевского общества. Умер Френель в возрасте 39 лет. Его “Мемуар о дифракции света”, удостоен премии Академии наук и опубликован в 1819 г.


Третье упрощение

  • Третье упрощение

  • Если

  • то этими составляющими можно пренебречь. В этом случае интеграл Френеля переходит в интеграл Фурье:

  • который соответствует дальней зоне дифракции (дифракции Фраунгофера)



Преобразование Френеля в вычислительном отношении удобнее выразить через интегральное преобразование Фурье

  • Преобразование Френеля в вычислительном отношении удобнее выразить через интегральное преобразование Фурье



  • Фурье

  • Жан Батист Жозеф

  • (21.III 1768 - 16.V 1830)

  • Французский математик, один из основоположников математической физики, член Института Франции (с 1817). Родился в Оксерре


Сын бедного портного, осиротел в восьмилетнем возрасте. Учился в военной школе в Оксерре. В 1784 - 1787 и в 1789 - 1793 преподавал там же риторику, историю и философию. С 1781 начал заниматься математикой. В 1795 был направлен в Политехническую школу (Париж) учеником, но вскоре стал в ней преподавателем, затем профессором. Принимал участие в Египетской кампании Наполеона

  • Сын бедного портного, осиротел в восьмилетнем возрасте. Учился в военной школе в Оксерре. В 1784 - 1787 и в 1789 - 1793 преподавал там же риторику, историю и философию. С 1781 начал заниматься математикой. В 1795 был направлен в Политехническую школу (Париж) учеником, но вскоре стал в ней преподавателем, затем профессором. Принимал участие в Египетской кампании Наполеона

  • С 1798 - непременный секретарь Египетского института, где развил значительную научную и организаторскую деятельность. В 1799 возглавил одну из научных экспедиций в долине Верхнего Нила. Был шефом юридической администрации, исполнял дипломатические поручения французских властей. В 1801 работал в ведомстве народного просвещения Франции. С 1802 - префект департамента Изеры. С 1827 - председатель Совета усовершенствования Политехнической школы


Избрание Фурье в Институт Франции по Секции математики (1816) не было утверждено королем. Вторично он был избран по Секции обшей физики (1817). С 1822 - непременный секретарь Секции математики Института Франции

  • Избрание Фурье в Институт Франции по Секции математики (1816) не было утверждено королем. Вторично он был избран по Секции обшей физики (1817). С 1822 - непременный секретарь Секции математики Института Франции

  • Основные работы относятся к теории тепла и теории уравнений с частными производными. Вывел уравнение теплопроводности и развил методы его интегрирования при различных граничных условиях, чем заложил основы математической физики

  • Разработал учение о представлении функций в виде тригонометрических рядов (ряды Фурье). Доказал свою знаменитую теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, расположенных в заданном интервале. Разрабатывал теорию алгебраических уравнений и их численного решения. Опубликовал много мемуаров по вопросам математической статистики, В области динамики исследовал принцип виртуальных работ. Написал ряд статей по теории вероятностей, а также о творчестве отдельных ученых. Внес основополагающий вклад в египтологию

  • Член французской академии (с 1826), почетный член Петербургской АН (с 1829), иностранный член Лондонского королевского общества



Преобразование Фраунгофера представляет собой с точностью до множителей пространственный Фурье-спектр функции b1(x,y):

  • Преобразование Фраунгофера представляет собой с точностью до множителей пространственный Фурье-спектр функции b1(x,y):

  • взятый по координатам Vx ,Vy  

  • в масштабе  



Фраунгофер Йозеф

  • Фраунгофер Йозеф

  • (1787-1826),

  • немецкий физик-оптик

    • исследовал явление дисперсии и достиг успехов в изготовлении ахроматических линз
    • изобрел метод точного определения формы линз, изобрел машину для шлифования ахроматических линз; сконструировал спектрометр, ахроматический микроскоп, окулярный микрометр и гелиометр
    • впервые наблюдал, исследовал и объяснил темные линии в солнечном спектре и измерил их длину волны (1814-15, независимо от У. Волластона, фраунгоферовы линии)
    • изучил дифракцию в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)
    • широко использовал дифракционные решетки

Сын бедного стекольщика, работал в мастерской отца. После его смерти (1798) в двенадцать лет поступил обучаться, затем работать в зеркальной и стекольной мастерской в Мюнхене.

  • Сын бедного стекольщика, работал в мастерской отца. После его смерти (1798) в двенадцать лет поступил обучаться, затем работать в зеркальной и стекольной мастерской в Мюнхене.

  • Свободные от работы часы Фраунгофер посвящал чтению и самообразованию. По выходе из ученья он приобрел машину для шлифовки оптических стекол, но принужден был добывать себе, однако, средства гравировкой визитных карточек.

  • С 1806 ассистент математического и оптического института (находился в Мюнхене, затем в Бенедиктбёйерне), где изготовлялись линзы и оптическая аппаратура. В 1809 стал одним из его руководителей, в 1818 — его директором.

  • Основанная в 1814 году при участии Фраунгофера фирма «Утцшнейдер и Фраунгофер», быстро приобрела мировую известность как выпускающая для крупных обсерваторий оптические приборы, главным образом рефракторы и зрительные трубы, высокого качества.

  • С 1823 хранитель физического кабинета Мюнхенского университета и член Баварской АН, с 1824 член Академии Леопольдина. Фраунгофер изобрёл окулярный микрометр и своеобразный объективный микрометр. Изучая показатели преломления различных сортов стекла, в 1814 открыл (независимо от английского физика У. Волластона) и описал линии поглощения в солнечном спектре (фраунгоферовы линии). В 1821 впервые применил дифракционную решётку для изучения спектров. Предложил метод наблюдения дифракции света в параллельных лучах.


Таким образом, при прохождении оптического волнового фронта через свободное пространство на некотором расстоянии происходит преобразование Френеля, которое далее, при увеличении расстояния, переходит в преобразование Фурье

  • Таким образом, при прохождении оптического волнового фронта через свободное пространство на некотором расстоянии происходит преобразование Френеля, которое далее, при увеличении расстояния, переходит в преобразование Фурье



Границы применения моделей дифракции

  • Границы применения моделей дифракции



Для получения комплексной амплитуды исходного волнового фронта необходимо сделать обратное преобразование

  • Для получения комплексной амплитуды исходного волнового фронта необходимо сделать обратное преобразование

  • Для этого в плоскость необходимо поместить линзу



Рассмотрим простейшую оптическую схему. На линзу падает распространяющаяся в направлении z плоская волна с комплексной амплитудой непосредственно вблизи линзы

  • Рассмотрим простейшую оптическую схему. На линзу падает распространяющаяся в направлении z плоская волна с комплексной амплитудой непосредственно вблизи линзы


Комплексная амплитуда в плоскости y2 будет иметь вид, похожий на интегральное преобразование Фурье

  • Комплексная амплитуда в плоскости y2 будет иметь вид, похожий на интегральное преобразование Фурье

  • Фотоприемники регистрируют интенсивность

  • При этом фазовый множитель сокращается поскольку


Если на тонкую линзу с примыкающим к ней транспарантом падает плоская волна, то в задней фокальной плоскости линзы образуется распределение комплексных амплитуд, пропорциональное произведению фазового множителя сферической волны и Фурье-образа пропускания транспаранта

  • Если на тонкую линзу с примыкающим к ней транспарантом падает плоская волна, то в задней фокальной плоскости линзы образуется распределение комплексных амплитуд, пропорциональное произведению фазового множителя сферической волны и Фурье-образа пропускания транспаранта