shkolageo.ru 1


Теория вероятностей


Основные понятия комбинаторики

  • .



  • Опр. Последовательность

  • элементов называется

  • упорядоченной, если порядок

  • следования элементов в ней задан



  • Опр. Размещением из элементов по

  • элементов наз-ся любое упорядоченное подмножество из элементов множества, состоящего из различных элементов:



Опр. Перестановками из элементов наз-ся любое упорядоченное множество,

  • Опр. Перестановками из элементов наз-ся любое упорядоченное множество,

  • в которое входят по одному разу все различные элементы данного множества:



Опр. Сочетанием из элементов по элементов наз-ся любое подмножество из элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из различных элементов:

  • Опр. Сочетанием из элементов по элементов наз-ся любое подмножество из элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из различных элементов:



СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Опр. Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить или не наступить.

  • Опр. Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить или не наступить.

  • Событие обозначается:


ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ



  • Опр. Совокупность  всех

  • элементарных событий в опыте

  • называется пространством

  • элементарных событий.





  • 2. Если множество является событием, то его дополнение (до ) тоже является событием:



Опр. Событие называется невозможным в опыте , если при повторении опыта оно никогда не происходит.

  • Опр. Событие называется невозможным в опыте , если при повторении опыта оно никогда не происходит.

  • Ему соответствует пустое подмножество в , которое обозначается .



  • Опр. Событие называется достоверным в опыте , если при повторении опыта оно происходит всегда.

  • Ему соответствует само пространство .



АЛГЕБРА СОБЫТИЙ


  • Опр. Суммой событий и называется событие + , состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий (событию + соответствует объединение подмножеств множества ). Если наступление обозначить“+”, не наступление “-“, то можно составить таблицу для наступления +

  • Если и высказывания, то

  • – соответственно дизъюнкция:




  • Опр. Произведением событий и

  • называется событие , состоящее в

  • одновременном появлении этих

  • событий (событию соответствует

  • пересечение подмножеств.) Если ,

  • высказывания, то - конъюнкция:





Опр. Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что событие произойдет, а событие нет.

  • Опр. Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что событие произойдет, а событие нет.

  • Опр. Событие называется противоположным событию , если оно считается наступившим тогда и только тогда, когда не наступает.



Диаграммы Венна











ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ



Опр. Пусть при n-кратном повторении опыта событие произошло раз. Частотой события называется отношение

  • Опр. Пусть при n-кратном повторении опыта событие произошло раз. Частотой события называется отношение


Свойства :

  • 1. , так как .

  • 2. , так как .

  • Если и несовместны, причем событие появится раз, событие

  • - раз,то


Опр. (по Колмогорову).

  • Опр. (по Колмогорову).

  • Вероятностью события называется функция удовлетворяющая следующим аксиомам теории вероятностей:

  • 1. Каждому ставится в соответствие неотрицательное число

  • 2. Вероятность достоверного события равна единице =1



3. Для любых несовместных событий

  • 3. Для любых несовместных событий

  • и ( =) справедливо

  • равенство .

  • 4. Для любой убывающей последовательности событий

  • из такой , что  имеет место равенство



СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ

  • 1.

  • 2.

  • 3.Если , то

  • 4.

  • 5.



Теорема. Если , образуют полную группу событий, то

  • Теорема. Если , образуют полную группу событий, то

  • .

  • Теорема. .

  • Теорема. Если событие представимо в виде суммы m благоприятствующих случаев из n, то вероятность такого события равна .



“Геометрические” вероятности.



События - всевозможные измеримые подмножества в .

  • События - всевозможные измеримые подмножества в .

  • ,

  • где мера подмножества



Условная вероятность


Опр. Условной вероятностью события относительно события называется вероятность осуществления события при условии, что событие уже произошло.

  • Опр. Условной вероятностью события относительно события называется вероятность осуществления события при условии, что событие уже произошло.

  • По определению


Пример. Слово “лотос” составлено из одинаковых букв- кубиков. Кубики рассыпаны. Берут наугад один за другим три кубика. Какова вероятность того, что при этом появиться слово “сто”.

  • Пример. Слово “лотос” составлено из одинаковых букв- кубиков. Кубики рассыпаны. Берут наугад один за другим три кубика. Какова вероятность того, что при этом появиться слово “сто”.

  • Решение: - проявиться слово «сто»

  • - первой извлечена “с”

  • - второй извлечена “т”

  • - третьей извлечена “о”



Представим событие в виде:

  • Представим событие в виде:

  • Тогда:



НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ



  • Опр. События и называются

  • независимыми, если ,

  • то есть, –условная

  • вероятность события равна

  • безусловной вероятности.



Правило умножения вероятностей.



Если события и независимы, то


ЗАМЕЧАНИЯ.

  • Для совместных событий:

  • Для несовместных событий:

  • Для независимых событий:

  • Для зависимых событий:


ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ



  • Предположим, что событие может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий тогда имеет место формула



ФОРМУЛА БАЙЕСА



Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие

  • Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие

  • Сам по себе этот факт ещё не позволяет сказать, какое из событий имело место в проделанном опыте. Можно поставить следующую задачу: найти вероятности



Формула Бернулли



  • где - столько раз проводили опыт;

  • - число появления соб. ;

  • - вероятность появления соб. ;

  • - вероятность не появления соб. ,



  • т.к. и ,

  • то эту формулу можно переписать в виде



Событие произойдет:

  • Событие произойдет:

  • а) менее раз

  • б) не менее раз



  • в) более раз

  • г) не более раз



Наиболее вероятное число успехов


Рассмотрим

  • Рассмотрим


  • Или



Вероятность при больших значениях



Локальная приближенная формула Лапласа ( -велико)





Интегральная формула Лапласа



Формула позволяет найти

  • Формула позволяет найти



Пусть

  • Пусть



Тогда

  • Тогда

  • где



Вероятность того, что частота наступления соб. в опытах отклонится от вероятности соб. не более чем на :



Приближенная формула Пуассона



велико,

  • велико,



Док-во: Воспользуемся формулой Бернулли

  • Док-во: Воспользуемся формулой Бернулли

  • т.к. , то

  • при



Случайные величины



  • Опр. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.


  • Опр. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечно, либо бесконечно, но обязательно счетно.


  • Опр. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.



  • Случайные величины: ;

  • значения: .



Операции над случайными величинами.





Определение.

  • Определение.

  • Суммой случайных

  • величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть





  • Опр. Произведением случайных величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть





Опр. Произведением случайной величины на постоянную называется случайная величина , возможные значения которой есть

  • Опр. Произведением случайной величины на постоянную называется случайная величина , возможные значения которой есть



Закон распределения случайной величины


  • Опр. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.


  • Закон распределения случайной величины можно задать, как и функцию: табличным, графическим и аналитическим способами.



  • Опр. Две случайные величины наз-ся независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от того какие возможные значения приняла другая.



Табличный способ



Ряд распределения случайной величины



Пусть

  • Пусть

  • тогда

  • тогда

  • тогда

  • …………………………………

  • тогда



  • По аксиомам вероятности





Графический способ



Многоугольник распределения





Аналитический способ



Функция распределения вероятностей



  • Опр. Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция , задающая вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее , т.е. .


Свойства функции распределения.


1. ;

  • 1. ;

  • Т.к , а

  • 2. - неубывающая функция и для







Т.к.

  • Т.к.



3. Если - функция распределения,



  • Если - дискретная случайная величина,

  • то



  • …………………………………………...........







Плотность распределения вероятностей



Пусть -непрерывная случайная величина.

  • Пусть -непрерывная случайная величина.

  • Рассмотрим вероятность попадания значений случайной величины в элементарный участок





  • Опр. Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей наз. первая производная интегральной функции распределения


График дифференциальной функции распределения наз. кривой распределения:

  • График дифференциальной функции распределения наз. кривой распределения:


Свойства плотности распределения вероятности.



1.Для

  • 1.Для

  • 2.Для имеет место равенство

  • 3.

  • 4.



Числовые характеристики случайных величин.



Математическое ожидание.





Опр. Математическим ожиданием

  • Опр. Математическим ожиданием

  • дискретной случайной величины наз.

  • сумма произведений всех возможных

  • значений случайной величины на

  • соответствующие вероятности появления

  • этих значений:



Пусть случайная величина приняла значения

  • Пусть случайная величина приняла значения

  • Причем появилось раз,

  • появилось раз,

  • ……………………….,

  • появилось раз.

  • где



  • При .

  • Тогда .


Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат , называется

  • Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат , называется

  • Если возможные значения принадлежат

  • , то


Свойства математического ожидания



1.



Пример 1.

  • Пример 1.



Пример 2.







Дисперсия

  • Опр. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ от её математического ожидания называют дисперсией СВ :



Если СВ - дискретная СВ, то

  • Если СВ - дискретная СВ, то

  • Если СВ - дискретная СВ, то



  • Среднее квадратическое отклонение



Свойства дисперсии

  • 1.

  • 2.

  • 3.

  • 4.

  • 5.



Опр. СВ называется центрированной:

  • Опр. СВ называется центрированной:

  • Опр. СВ называется стандартной:


Опр. Начальным моментом порядка СВ называется

  • Опр. Начальным моментом порядка СВ называется

  • Опр. Центральным моментом порядка СВ называется


Опр. Коэффициентом асимметрии наз-ся величина :

  • Опр. Коэффициентом асимметрии наз-ся величина :



Опр. Эксцессом наз-ся величина

  • Опр. Эксцессом наз-ся величина



Виды распределения



Равномерное распределение







Нормальное распределение





  • Если СВ