Про натуральные числа m и n известно, что m^2+m+n^2 делится на mn. Докажите, что m - точный квадрат

Если m=1, то m является полным квадратом (), поэтому этот случай можно не рассматривать.Пусть m>1 не является полным квадратом, тогда в разложении m на простые множители (существование такого разложения гарантируется основной теоремой арифметики) хотя бы один показатель является нечетным числом. Не теряя общности, можно предположить, что это По условию где a - целое число. Разделим это равенство на m:Поскольку m+1 и na - целые числа, является целым числом, то есть делится на m, откуда делится на Отсюда следует, что n делится на следовательно делится на Теперь мы уже на финише. Из последнего рассуждения следует, что делится на na, естественно, делится на но (m+1) ну никак не может делиться на поскольку соседние натуральные числа взаимно просты (а m делится на ).Полученное противоречие доказывает, что m обязано быть полным квадратом.

Оценить ответ

Загрузить картинку
Не нравится ответ?

Если ответ на твой вопрос отсутствует, или он не полный, то рекомендуем найти информацию через поиск на сайте.

Найти другие ответы
Новые вопросы и ответы